Las olas que rompen en la playa parecen caóticas, pero detrás de su vaivén hay estructuras muy ordenadas llamadas líneas de solitones: ondas que viajan grandes distancias sin deformarse. Comprender por qué nacen y cómo desaparecen ha sido un desafío matemático durante décadas. Nuevos avances en esta línea aparecen gracias al trabajo del Dr. Felipe Poblete, investigador y director del Magíster en Matemáticas de la Facultad de Ciencias UACh.
Pero ¿Qué pasaría si te dijeran que es posible predecir el comportamiento de las olas usando matemática? Aunque parezca sorprendente, eso es exactamente lo que permite un tipo especial de ecuaciones llamadas Kadomtsev–Petviashvili (KP), y en particular su versión conocida como KP-II. Estas ecuaciones modelan cómo evolucionan ondas largas y de baja amplitud en superficies bidimensionales, como las de la orilla del mar.
Lo interesante de las ecuaciones KP, particularmente de KP-II, es que permiten describir líneas de solitones: ondas estables que conservan su forma al propagarse en dos dimensiones, sin disiparse. Este concepto tiene una larga historia que se remonta a 1834, cuando el ingeniero escocés John Scott Russell observó una “onda solitaria” desplazándose a lo largo de un canal sin perder su forma. Hoy, gracias a modelos como KP-II, es posible entender matemáticamente ese fenómeno en dos dimensiones y aplicarlo a contextos reales como el comportamiento de las olas en la costa.
En un primer estudio, publicado en Nonlinearity (2024), el Dr. Poblete y su equipo abordaron un desafío poco tratado: ¿qué ocurre si una solución (ola) comienza con gran energía? Sorprendentemente, demostraron que incluso en esos casos extremos, las soluciones de KP-II tienden a dispersarse con el tiempo en ciertas regiones del espacio. Desde la costa, un observador vería cómo una ola definida se descompone localmente, dando paso a un patrón más difuso.
“Este resultado apoya la llamada conjetura de resolución de solitones, que plantea que, en ausencia de estructuras no lineales persistentes, como los solitones, las soluciones tienden naturalmente a dispersarse”, explica el Dr. Poblete.
El análisis implicó superar un desafío técnico: las ecuaciones son no locales, lo que significa que el comportamiento en un punto depende de lo que ocurre en una zona amplia. Para abordarlo, el equipo desarrolló herramientas teóricas novedosas llamadas identidades viriales.
En un segundo artículo, publicado en el Journal of Differential Equations (2025), abordaron una pregunta inversa: ¿cómo saber si una solución (ola) observada es realmente un solitón y a qué tipo pertenece? El equipo ideó un conjunto de operadores algebraicos que actúan como un test de ADN matemático. Si una solución los anula de forma simultánea y cumple ciertas relaciones entre términos exponenciales, entonces pertenece necesariamente a una de las familias conocidas: solitones clásicos, estructuras en Y o cruces de líneas.
Este avance contribuye a establecer un marco más robusto y sistemático para entender la diversidad de soluciones que emergen en sistemas no lineales dispersivos, y refuerza la relevancia de las matemáticas puras en el entendimiento profundo de fenómenos físicos.
Aunque parte de ideas abstractas, este tipo de resultados ofrece herramientas concretas para entender mejor cómo se comportan las olas. Esto puede mejorar la predicción de mareas, optimizar obras como puertos o rompeolas, e incluso servir en estudios sobre erosión costera.
«Estos avances brindan espacio para descubrir nuevas herramientas matemáticas y en este caso nos permiten conocer más a fondo cómo funciona el mar en su estructura interna, y eso siempre será clave para convivir mejor con nuestro entorno y prepararnos frente a fenómenos naturales” finaliza el Dr. Poblete.
Finalmente, cabe mencionar que los artículos que forman parte de esta investigación forman parte de las actividades del proyecto Fondecyt regular 1221076«Towards a complete rigorous description of the long-time dynamics in the Kadomtsev-Petviashvili models of fluids».
Artículos publicados:
- Long time asymptotics of large data in the Kadomtsev–Petviashvili models, Nonlinearity, vol. 37, no. 5, p. 055017, 2024. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1361-6544/ad359e
- On uniqueness of KP soliton structures, Journal of Differential Equations, vol. 445, 2025.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2025.113569